Generalized Singular Value Decomposition

Singular Value Decomposition atau SVD dapat dirampatkan (diperumum) menjadi bentuk Generalized Singular Value Decomposition atau GSVD. Misalkan $\mathbf{\Omega }$ dan $\mathbf{\Phi}$ merupakan matriks simetris definit positif yang masing-masing berukuran $n \times n$ dan $p \times p$ , maka untuk setiap matriks $\mathbf{X}$ berukuran $n \times p$ yang memiliki pangkat $r\leq min \left \{ n,\right p\}$ dapat dinyatakan dengan:

$_{n}^{ }\textrm{\mathbf{X}}_{p} = _{n}^{ }\textrm{\mathbf{N}}_{r}. \mathbf{D}. _{r}^{ }\textrm{\mathbf{M}'}_{p}$ (1)

di mana dari persamaan (1) diperoleh hubungan $\mathbf{N}'\mathbf{\Omega}\mathbf{N} = \mathbf{M}'\mathbf{\Phi} \mathbf{M}=\mathbf{I}$ dan $\mathbf{D} = diag \left \{ \sqrt{\lambda_{1}}, \sqrt{\lambda _{2}}, ..., \sqrt{\lambda _{r}} \right \}$ dengan $\sqrt{\lambda_{1}} \geq \sqrt{\lambda_{2}} \geq ... \geq \sqrt{\lambda_{r}} > 0$ merupakan nilai singular tertata yang diperoleh dari matriks $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} \mathbf{X}\mathbf{\Phi }^{\frac{1}{2}}$ (Greenacre 1984). Langkah-langkah perhitungan GSVD adalah:

1. Menghitung SVD dari $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} \mathbf{X}\mathbf{\Phi }^{\frac{1}{2}}$

Cara memperoleh $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}}$ dan $\mathbf{\Phi}^{\frac{1}{2}}$ dengan menggunakan Penguraian Spektral atau SVD dari $\mathbf{\Omega}$ dan $\mathbf{\Phi}$ di mana $\mathbf{\Omega} = \mathbf{A}\mathbf{B} \mathbf{A}$ dan $\mathbf{\Phi} = \mathbf{C}\mathbf{D} \mathbf{C}$ . Sehingga $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} = \mathbf{A}\mathbf{B}^{\frac{1}{2}} \mathbf{A}$ dan $\mathbf{\Phi}^{\frac{1}{2}} = \mathbf{C}\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{C}$ . Selanjutnya dihitung SVD dari $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} \mathbf{X}\mathbf{\Phi }^{\frac{1}{2}}$ misalkan hasilnya $\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}}\mathbf{X}\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} = _{n}^{ }\mathbf{\textrm{U}}_{r}\mathbf{L}_{r}^{ }\mathbf{\textrm{W}}'_{p}$ .

2. Mendefinisikan matriks $\mathbf{D} = \mathbf{L}$

Dengan memisalkan $\mathbf{D} = \mathbf{L}$ maka diperoleh:

$\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}}\mathbf{X}\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}} = _{n}^{ }\mathbf{\textrm{U}}_{r}\mathbf{D}_{r}^{ }\mathbf{\textrm{W}}'_{p}$

$\Leftrightarrow \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}.\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}}\mathbf{X}\mathbf{\Omega}^{\frac{1}{2}}. \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}= \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}._{n}^{ }\mathbf{\textrm{U}}_{r}\mathbf{D}_{r}^{ }\mathbf{\textrm{W}}'_{p} . \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}$

$\Leftrightarrow \mathbf{X}= \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}._{n}^{ }\mathbf{\textrm{U}}_{r}\mathbf{D}_{r}^{ }\mathbf{\textrm{W}}'_{p} . \mathbf{\Omega}^{-\frac{1}{2}}$

3. Mendefinisikan matriks $_{n}^{ }\textrm{N}_{r} = \mathbf{\Omega }^{-\frac{1}{2}}. _{n}^{ }\textrm{U}_{r}$ dan $_{p}^{ }\textrm{M}_{r} = \mathbf{\Phi}^{-\frac{1}{2}}. _{p}^{ }\textrm{W}_{r}$

Dengan mendefinisikan $_{n}^{ }\textrm{N}_{r} = \mathbf{\Omega }^{-\frac{1}{2}}. _{n}^{ }\textrm{U}_{r}$ dan $_{p}^{ }\textrm{M}_{r} = \mathbf{\Phi}^{-\frac{1}{2}}. _{p}^{ }\textrm{W}_{r}$ maka diproleh GSVD $_{n}^{ }\textrm{\mathbf{X}}_{p} = _{n}^{ }\textrm{\mathbf{N}}_{r}. \mathbf{D}. _{r}^{ }\textrm{\mathbf{M}'}_{p}$

GSVD sering digunakan sebagai landasan dalam Analisis Korespondensi yang memeragakan baris dan kolom secara serempak dari tabel kontingensi dua arah, kemudian diperluas untuk tabel kontingensi banyak arah.

Semoga bermanfaat. . .

Daftar Pustaka:

Greenacre MJ. 1984. Theory and Applications of Correspondence Analysis. London: Academic Press.

Siswadi. 2016. Ukuran Procrustes dalam suatu reduksi dimensi. Orasi ilmiah guru besar IPB: Institut Pertanian Bogor.